Xem thêm

Cấp Số Cộng: Khám phá 5 Công Thức Cấp Số Cộng và Bài Tập

Cấp số cộng là một khái niệm quen thuộc trong toán học, mô tả một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều...

Cấp số cộng là một khái niệm quen thuộc trong toán học, mô tả một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d (công sai) cố định. Cấp số cộng có rất nhiều tính chất thú vị được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hãy cùng tìm hiểu về 5 công thức cấp số cộng cơ bản và thú vị nhất!

1. Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số trong đó từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d (công sai) cố định. Công thức định nghĩa của cấp số cộng có dạng: Uₙ = Uₙ₋₁ + d (với n ≥ 2).

Cấp số cộng

2. Tính chất của cấp số cộng

Trong cấp số cộng, nếu Uₙ là số hạng thứ n, thì mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều bằng trung bình cộng của hai số hạng đứng kề bên nó trong dãy số, tức là:

Uₖ = (Uₖ₋₁ + Uₖ₊₁) / 2

3. Tổng hợp công thức cấp số cộng lớp 11

Trong chương trình đại số THPT, chúng ta được học về cấp số cộng và ứng dụng của các công thức cấp số cộng. Dưới đây là 5 công thức cấp số cộng cơ bản và thường được sử dụng nhất.

3.1. Công thức cấp số cộng theo định nghĩa chung

Theo định nghĩa chung, xét Uₙ là cấp số cộng với công sai d, khi đó ta có công thức: Uₙ = Uₙ₋₁ + d (với n ≥ 2).

3.2. Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức tính số hạng tổng quát bằng cách sử dụng số hạng đầu và công sai: Uₙ = U₁ + (n-1)d.

3.3. Công thức cấp số cộng thông qua hai số liền kề

Công thức cấp số cộng có 2 số liền kề, còn được gọi là tính chất của cấp số cộng. Xét cấp số cộng Uₙ với số hạng đằng trước là Uₙ₋₁ và số hạng liền kề đằng sau là Uₙ₊₁, ta có: Uₙ = (Uₙ₋₁ + Uₙ₊₁) / 2 hoặc Uₙ₊₁ + Uₙ₋₁ = 2Uₙ.

3.4. Công thức cấp số liên hệ giữa hai số bất kỳ

Công thức cấp số liên hệ giữa hai số bất kỳ: Uₙ = Uₘ + (n-m)d.

3.5. Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

3.5.1. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng thứ n

Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) của cấp số cộng là: Sₙ = U₁ + U₂ + ... + Uₙ = (n(U₁+Uₙ)) / 2 (với n ≥ 1).

3.5.2. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và công sai

Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) của cấp số cộng là: Sₙ = nU₁ + (n(n-1)d) / 2 (với n ≥ 2).

Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc gia ngay!

Cấp số cộng

4. Vận dụng công thức cấp số cộng để giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Bài tập 1: Áp dụng công thức định nghĩa để giải cấp số cộng sau:

Dãy số 3;6;9;12;15 là một cấp số cộng vì: 6 = 3 + 3, 9 = 6 + 3, 12 = 9 + 3, 15 = 12 + 3.

Đây là cấp số cộng có công sai d = 3 và số hạng đầu U₁ = 3.

Bài tập 2: Công thức tìm số hạng tổng quát

Cho cấp số cộng Uₙ với U₁ = -2 và công sai d = 7. Tính số hạng tổng quát? Lời giải: Theo công thức thứ 2, ta có: Uₙ = U₁ + (n-1)d = -2 + (n-1)7 = 7n - 9.

Bài tập 3: Tìm số hạng bất kỳ

Cho cấp số cộng Uₙ với điều kiện d = 3, U₁ = -1. Tính S₂₀. Lời giải: Ta có S₂₀ = 20U₁ + (20(20-1)/2).d = 20.(-1) + (20.19/2).3 = 550.

Bài tập 4: Tìm công sai

Cho cấp số cộng Uₙ với tổng 100 số hạng đầu bằng 24850, U₁ = 1. Công sai d của cấp số cộng bằng bao nhiêu? Lời giải: Ta có S₁₀₀ = 24850 ⇔ (n/2)(U₁ + Uₙ) = 24850 ⇔ U₁₀₀ = 496. Vậy U₁₀₀ = U₁ + 99d ⇔ d = (U₁₀₀ - U₁) / 99 ⇔ d = 5.

Bài tập 5: Tính số hạng đầu của cấp số cộng

Cho một cấp số cộng (un) biết rằng u₁ + u₅ = 6, u₁₀ - u₂ = 8. Hãy tính số hạng đầu của cấp số cộng. Hướng dẫn giải: Ta có u₁ + u₁ + 4d = 6, 8d = 8. ⇔ u₁ = 1, d = 1. Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là u₁ = 1.

Hãy cùng các thầy cô của VUIHOC tham khảo một số dạng bài tập thường gặp về cấp số cộng.

Thông qua những thông tin trong bài viết này, hy vọng các bạn đã nắm chắc kiến thức liên quan đến công thức cấp số cộng trong chương trình Toán 11 để vận dụng giải bài tập cấp số cộng. Để có thêm nhiều bài giảng thú vị và chi tiết khác, bạn có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để bắt đầu hành trình học tập của mình nhé!

Xem thêm:

  • Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp số nhân
  • Xác suất của biến cố
  • Phép thử và biến cố
  • Cấp số nhân là gì? Tổng hợp các công thức cấp số nhân và bài tập
  • Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập vận dụng
1